Sunarthsiak Anˆlush. Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma

Sunarthsiak Anˆlush Shmei seic gia metaptuqiakì mˆjhma Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης νοιξη 2004

2

Perieqìmena 1 Εισαγωγικά 7 1.1 Διατάξεις............................... 7 1.2 Τοπολογικοί χώροι.......................... 8 1.2.1 Ανοικτά και κλειστά σύνολα................. 8 1.2.2 Μετρικοί χώροι........................ 9 1.2.3 Ακολουθίες.......................... 11 1.2.4 Συνεχείς συναρτήσεις..................... 11 1.2.5 Ομοιομορφισμοί........................ 12 1.2.6 Πλήρεις μετρικοί χώροι.................... 13 1.2.7 Συμπάγεια........................... 15 1.2.8 Τοπολογία-υπόχωρου..................... 17 1.2.9 Πλήρωση μετρικού χώρου.................. 19 1.2.10 Τοπολογία-γινόμενο..................... 21 1.2.11 Ασθενής τοπολογία...................... 25 1.3 Γραμμικοί Χώροι........................... 27 1.3.1 Πράξεις............................ 27 1.3.2 Γραμμικοί υπόχωροι...................... 28 1.3.3 Βάσεις και διάσταση..................... 29 1.3.4 Χώρος-πηλίκο......................... 32 1.3.5 Γραμμικοί Τελεστές...................... 34 1.3.6 Ισομορφισμοί......................... 36 1.3.7 Υπερεπίπεδα και ημιχώροι.................. 38 1.3.8 Κυρτά σύνολα......................... 39 1.3.9 Ευθύ άθροισμα........................ 40 1.4 Παραδείγματα γραμμικών χώρων................... 41 1.4.1 Ο χώρος F n.......................... 41 1.4.2 Χώροι ακολουθιών....................... 41 1.4.3 Χώροι συναρτήσεων...................... 43 1.4.4 Χώροι πραγματικών ή μιγαδικών μέτρων.......... 45 1.5 Ασκήσεις............................... 46 3

4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 2 Το Θεώρημα Hahn-Banach 49 2.1 Η αναλυτική μορφή.......................... 49 2.2 Η γεωμετρική μορφή......................... 52 2.3 Ασκήσεις............................... 55 3 Τοπολογικοί γραμμικοί χώροι 57 3.1 Χώροι με νόρμα............................ 57 3.1.1 Νόρμες............................ 57 3.1.2 Ισομορφισμοί......................... 59 3.1.3 Χώροι πεπερασμένης διάστασης............... 61 3.1.4 Χώροι Banach........................ 63 3.1.5 Χώροι ακολουθιών...................... 65 3.1.6 Υπόχωροι........................... 67 3.1.7 Χώροι-πηλίκο......................... 67 3.1.8 Χώροι συναρτήσεων..................... 69 3.1.9 Μερικά θεωρήματα προσέγγισης............... 74 3.1.10 Χώροι μέτρων......................... 77 3.1.11 Διαχωρισιμότητα....................... 79 3.1.12 Συμπάγεια........................... 81 3.1.13 Ομοιόμορφα κυρτές νόρμες.................. 83 3.1.14 Σειρές............................. 85 3.2 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο.................... 86 3.2.1 Εσωτερικό γινόμενο και νόρμα................ 86 3.2.2 Ισομετρίες........................... 88 3.2.3 Η ομοιόμορφη κυρτότητα της νόρμας............ 89 3.2.4 Χώροι Hilbert........................ 89 3.2.5 Καθετότητα.......................... 91 3.2.6 Ορθοκανονικά σύνολα.................... 92 3.2.7 Ορθογώνιες προβολές.................... 95 3.2.8 Διαχωρισιμότητα....................... 96 3.2.9 Τρία παραδείγματα ορθοκανονικών βάσεων......... 98 3.3 Τοπικά κυρτοί χώροι......................... 100 3.3.1 Τοπικά κυρτή τοπολογία................... 100 3.3.2 Χώροι Fréchet......................... 105 3.3.3 Χώροι ακολουθιών...................... 107 3.3.4 Χώροι συναρτήσεων..................... 108 3.4 Τοπολογικοί γραμμικοί χώροι.................... 113 3.5 Ασκήσεις............................... 116 4 Ο δυικός χώρος 125 4.1 Φραγμένα γραμμικά συναρτησοειδή................. 125 4.2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης................... 127 4.3 Χώροι ακολουθιών.......................... 128 4.4 Χώροι Hilbert............................ 130 4.5 Χώροι συναρτήσεων.......................... 131 4.6 Το θεώρημα Hahn-Banach..................... 144

ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 5 4.7 Δύο θεωρήματα παρεμβολής..................... 148 4.8 Ο δεύτερος δυικός.......................... 150 4.9 Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος................... 153 4.10 Ασθενής σύγκλιση και ασθενής σύγκλιση............. 154 4.11 Ασθενείς τοπολογίες......................... 158 4.12 Το θεώρημα των Krein και Milman................. 164 4.13 Ασκήσεις............................... 167 5 Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές 175 5.1 Νόρμες γραμμικών τελεστών..................... 175 5.2 Η άλγεβρα L(X)............................ 178 5.3 Ο δυικός τελεστής.......................... 179 5.4 Χώροι πεπερασμένης διάστασης................... 181 5.5 Αρχή ομοιόμορφου φράγματος.................... 183 5.6 Σύγκλιση στον L(X, Y )........................ 183 5.7 Θεώρημα ανοικτής απεικόνισης.................... 184 5.8 Θεώρημα κλειστού γραφήματος.................... 185 5.9 Τελεστές σε χώρους ακολουθιών.................. 186 5.10 Τελεστές σε χώρους συναρτήσεων.................. 188 5.11 Θεώρημα κλειστού συνόλου τιμών.................. 190 5.12 Φάσματα τελεστών.......................... 192 5.13 Συμπαγείς τελεστές.......................... 198 5.14 Φάσματα συμπαγών τελεστών.................... 203 5.15 Ασκήσεις............................... 206

6 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ DÔo lìgia Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν μία πρώτη προσπάθεια και είναι, εμφανώς, ελλειπείς ως προς την επιλογή ύλης αλλά και ασκήσεων. Γράφτηκαν κατά τη διάρκεια ενός ακαδημαϊκού εξαμήνου για τις ανάγκες συγκεκριμένου μεταπτυχιακού μαθήματος στο Μαθηματικό Τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης. Θα ήμουν ευγνώμων σε όσους, παίρνοντάς τες στα χέρια τους, τις προσέξουν και μου κάνουν παρατηρήσεις για τη βελτίωσή τους. Για τις σημειώσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν, κυρίως, τα εξής βιβλία: 1. Functional Analysis του. Yosida. 2. Functional Analysis του P. Lax. 3. Introduction to Functional Analysis των A. Taylor και D. Lay. 4. Functional Analysis του W. Rudin. 5. Analyse Fonctionnelle του H. Brezis. Μ. Παπαδημητράκης, 5 Ιουλίου 2004.

Kefˆlaio 1 Eisagwgikˆ 1.1 Diatˆxeic Ορισμός 1.1 Εστω A ένα μη-κενό σύνολο και A A. Λέμε ότι το σύνολο είναι σχέση διάταξης ή διάταξη στο A, αν για κάθε a, a 1, a 2, a 3 A, (i) (a, a), (ii) αν (a 1, a 2 ) και (a 2, a 1 ), τότε a 1 = a 2, (iii) αν (a 1, a 2 ) και (a 2, a 3 ), τότε (a 1, a 3 ). Τότε το σύνολο A ονομάζεται διατεταγμένο από την. Αν το είναι διάταξη στο A, γράφουμε a a αντί (a, a ). Επομένως, οι σχέσεις του προηγούμενου ορισμού γράφονται (i) a a, (ii) αν a 1 a 2 και a 2 a 1, τότε a 1 = a 2, (iii) αν a 1 a 2 και a 2 a 3, τότε a 1 a 3. Παράδειγμα Το σύνολο R με τη συνηθισμένη διάταξη. Παράδειγμα Το σύνολο N με τη διάταξη της διαιρετότητας /. Δηλαδή, a/b αν το a διαιρεί το b. Παράδειγμα Αν Q είναι οποιοδήποτε μη-κενό σύνολο, θεωρούμε A = P(Q), το σύνολο του οποίου στοιχεία είναι όλα τα υποσύνολα του Q, και ως διάταξη θεωρούμε τον εγκλεισμό. Στο πρώτο παράδειγμα, για κάθε x, y R ισχύει ότι είτε x y είτε y x. Ομως, στο δεύτερο παράδειγμα δεν ισχύει ούτε 2/3 ούτε 3/2. Ομοίως, στο τρίτο παράδειγμα, αν το Q περιέχει τουλάχιστον δύο στοιχεία q 1, q 2, τότε για τα στοιχεία {q 1 }, {q 2 } του P(Q) δεν ισχύει ούτε {q 1 } {q 2 } ούτε {q 2 } {q 1 }. Ορισμός 1.2 Εστω A σύνολο με διάταξη. Ενα B A ονομάζεται ολικά διατεταγμένο αν για κάθε b 1, b 2 B ισχύει ότι είτε b 1 b 2 είτε b 2 b 1. 7

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ Ορισμός 1.3 Εστω A σύνολο με διάταξη, B A και a A. Το a ονομάζεται άνω-φράγμα του B, αν b a για κάθε b B. Ορισμός 1.4 Εστω A σύνολο με διάταξη και a A. Το a ονομάζεται maximal στοιχείο του A, αν δεν υπάρχει a A με a a και a a. Στη Θεωρία Συνόλων δεχόμαστε ως Αξίωμα το Λήμμα του Zorn : Εστω A διατεταγμένο σύνολο. Αν κάθε ολικά διατεταγμένο υποσύνολο του A έχει άνω-φράγμα στο A, τότε το A έχει τουλάχιστον ένα maximal στοιχείο ή κάποια από τις ισοδύναμες με αυτό προτάσεις, όπως το Αξίωμα Επιλογής που θα συναντήσουμε παρακάτω. 1.2 TopologikoÐ q roi 1.2.1 Anoiktˆ kai kleistˆ sônola Ορισμός 1.5 Εστω A ένα μη-κενό σύνολο και T μία συλλογή υποσυνόλων του A με τις ιδιότητες (i), A T (ii) C T για κάθε συλλογή C T (iii) C T για κάθε πεπερασμένη συλλογή C T. Η T ονομάζεται τοπολογία στο A και τα στοιχεία της T ονομάζονται ανοικτά (ως προς την T ) σύνολα του A. Το A εφοδιασμένο με μία τοπολογία ονομάζεται τοπολογικός χώρος. Το (ii) λέει, με απλά λόγια, ότι η ένωση οποιασδήποτε συλλογής συνόλων που ανήκουν στην T είναι σύνολο που ανήκει στην T. Το (iii) λέει ότι η τομή οποιασδήποτε πεπερασμένης συλλογής συνόλων που ανήκουν στην T είναι σύνολο που ανήκει στην T. Ορισμός 1.6 Αν το A είναι τοπολογικός χώρος, τότε κάθε υποσύνολο του A του οποίου το συμπλήρωμα είναι ανοικτό ονομάζεται κλειστό. Πρόταση 1.1 Εστω A τοπολογικός χώρος. (i) Τα, A είναι κλειστά σύνολα. (ii) Το C είναι κλειστό για κάθε συλλογή C κλειστών συνόλων. (iii) Το C T είναι κλειστό για κάθε πεπερασμένη συλλογή C κλειστών συνόλων. Απόδειξη: Η απόδειξη βασίζεται στους ορισμούς και στους νόμους του de Morgan για τα συμπληρώματα και τις ενώσεις/τομές. Ορισμός 1.7 Εστω A τοπολογικός χώρος και U A. (i) Το σύνολο int(u) = {O O είναι ανοικτό U} ονομάζεται εσωτερικό του U.

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 9 (ii) Το σύνολο cl(u) = {C C είναι κλειστό U} ονομάζεται κλειστή θήκη του U. Πρόταση 1.2 Εστω A τοπολογικός χώρος και U A. (1) Το int(u) είναι το μεγαλύτερο ανοικτό υποσύνολο του U. (2) Το U είναι ανοικτό αν και μόνον αν int(u) = U. (3) Το cl(u) είναι το μικρότερο κλειστό υπερσύνολο του U. (4) Το U είναι κλειστό αν και μόνον αν cl(u) = U. Απόδειξη: (1) Προφανές, βάσει των ορισμών. (2) Αν το U είναι ανοικτό, τότε αυτό είναι το μεγαλύτερο ανοικτό υποσύνολο του U. Αντιστρόφως, αν int(u) = U, επειδή το int(u) είναι ανοικτό, συνεπάγεται ότι το U είναι ανοικτό. (3),(4) σκηση. Ορισμός 1.8 Εστω A τοπολογικός χώρος και x A. Κάθε ανοικτό σύνολο το οποίο περιέχει το x ονομάζεται ανοικτή περιοχή του x. Ορισμός 1.9 Εστω A τοπολογικός χώρος και U A. (i) Το x U ονομάζεται εσωτερικό σημείο του U αν υπάρχει ανοικτό σύνολο O ώστε x O U. (ii) Το x ονομάζεται σημείο συσσώρευσης του U αν κάθε ανοικτή περιοχή του x περιέχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του U διαφορετικό από το x. Πρόταση 1.3 Εστω A τοπολογικός χώρος και U A. (1) int(u) = {x x είναι εσωτερικό σημείο του U}. (2) cl(u) = {x x U ή x είναι σημείο συσσώρευσης του U}. Απόδειξη: (1) Προφανές. (2) Εστω x cl(u) και x / U. Τότε το x ανήκει σε κάθε κλειστό σύνολο το οποίο περιέχει το U. ρα, αν θεωρήσουμε οποιαδήποτε ανοικτή περιοχή O του x, επειδή το x δεν ανήκει στο κλειστό X \ O, συνεπάγεται ότι το σύνολο αυτό δεν περιέχει το U και, επομένως, η O έχει τουλάχιστον ένα σημείο κοινό με το U. Το σημείο αυτό δεν είναι το x, αφού x / U. ρα το x είναι σημείο συσσώρευσης του U. Αντιστρόφως, αν x U, τότε x cl(u). Αν το x είναι σημείο συσσώρευσης του U και θεωρήσουμε οποιοδήποτε κλειστό C το οποίο περιέχει το U, τότε x C. Διαφορετικά, το X \C θα ήταν ανοικτή περιοχή του x χωρίς να έχει κανένα σημείο κοινό με το U. ρα το x ανήκει σε κάθε κλειστό σύνολο το οποίο περιέχει το U και, επομένως, x cl(u). 1.2.2 MetrikoÐ q roi Ορισμός 1.10 Εστω A ένα μη-κενό σύνολο και d : A A R + 0 ιδιότητες (i) d(x 1, x 2 ) = 0 αν και μόνον αν x 1 = x 2. (ii) d(x 1, x 2 ) = d(x 2, x 1 ) για κάθε x 1, x 2 A. με τις

10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ (iii) d(x 1, x 3 ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ) για κάθε x 1, x 2, x 3 A. Η συνάρτηση d ονομάζεται μετρική στο A και το A εφοδιασμένο με μία μετρική ονομάζεται μετρικός χώρος. Ορισμός 1.11 Εστω A μετρικός χώρος με μετρική d. (i) Αν x A και r R +, το σύνολο B(x; r) = {y A d(y, x) < r} ονομάζεται ανοικτή μπάλα με κέντρο x και ακτίνα r. (ii) Ενα υποσύνολο O του A ονομάζεται ανοικτό (ως προς τη μετρική d) αν για κάθε x O υπάρχει r R + ώστε B(x; r) O. Λήμμα 1.1 Εστω A μετρικός χώρος με μετρική d, x A και r R +. Η μπάλα B(x; r) είναι ανοικτό σύνολο. Απόδειξη: Αν πάρουμε τυχόν y B(x; r), τότε, με s = r d(y, x) > 0, ισχύει ότι B(y; s) B(x; r). Πρόταση 1.4 Εστω A ένας μετρικός χώρος με μετρική d. Τότε η συλλογή T = {O το O είναι ανοικτό ως προς τη d} αποτελεί τοπολογία στο A. Επομένως, κάθε μετρικός χώρος είναι τοπολογικός χώρος. Απόδειξη: σκηση. Ορισμός 1.12 (i) Εστω A μετρικός χώρος με μετρική d. Η τοπολογία T της προηγούμενης πρότασης λέμε ότι επάγεται από την d. (ii) Ενας τοπολογικός χώρος A με τοπολογία T ονομάζεται μετρικοποιήσιμος αν υπάρχει μετρική d στο A ώστε η τοπολογία η οποία επάγεται από την d να ταυτίζεται με την T. Τότε η T ονομάζεται τοπολογία μετρικού χώρου. Πρόταση 1.5 Εστω A ένας μετρικός χώρος με μετρική d, έστω x A και U A. (1) Το x είναι εσωτερικό σημείο του U αν και μόνον αν υπάρχει r R + ώστε B(x; r) U. (2) Το x είναι σημείο συσσώρευσης του U αν και μόνον αν για κάθε r R + η B(x; r) περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του U διαφορετικό από το x. Απόδειξη: (1) Αν το x είναι εσωτερικό σημείο του U, τότε υπάρχει ανοικτό O ώστε x O U. ρα υπάρχει r R + ώστε B(x; r) O U. Αντιστρόφως, αν υπάρχει r R + ώστε B(x; r) U, τότε, βάσει του Λήμματος 1.1, η B(x; r) είναι ανοικτό σύνολο και, επομένως, το x είναι εσωτερικό σημείο του U. (2) Αν το x είναι σημείο συσσώρευσης του U, τότε, επειδή κάθε B(x; r) είναι ανοικτό σύνολο, συνεπάγεται ότι κάθε B(x; r) περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του U διαφορετικό από το x. Αντιστρόφως, αν πάρουμε τυχούσα ανοικτή περιοχή O του x, υπάρχει B(x; r) O, οπότε η O περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του U διαφορετικό από το x. ρα το x είναι σημείο συσσώρευσης του U.

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 11 1.2.3 AkoloujÐec Ορισμός 1.13 Εστω A ένας τοπολογικός χώρος με τοπολογία T και {x n } μία ακολουθία στο A. Λέμε ότι η {x n } συγκλίνει (ως προς την T ) αν υπάρχει x A ώστε κάθε περιοχή του x να περιέχει όλους τους όρους της {x n } από έναν δείκτη και πέρα. Τότε λέμε ότι το x είναι όριο της ακολουθίας και γράφουμε x n x. Πρόταση 1.6 Εστω A ένας μετρικός χώρος με μετρική d. (1) x n x στο A αν και μόνον αν για κάθε r R + η B(x; r) περιέχει όλους τους όρους της {x n } από έναν δείκτη και πέρα. (2) Κάθε ακολουθία στο A έχει το πολύ ένα όριο. Απόδειξη: (1) σκηση. (2) Αν υποθέσουμε ότι η {x n } έχει δύο τουλάχιστον όρια z 1 και z 2, τότε r = 1 2 d(z 1, z 2 ) > 0 και οι μπάλες B(z 1 ; r) και B(z 2 ; r) είναι ξένες μεταξύ τους. Αυτό αντιφάσκει με τον ορισμό του ορίου. Πρόταση 1.7 Εστω A ένας μετρικός χώρος με μετρική d και U A. (1) Ενα x A είναι σημείο συσσώρευσης του U αν και μόνον αν υπάρχει ακολουθία στο U της οποίας όλοι οι όροι είναι διαφορετικοί από το x και έχει όριο x. (2) Το U είναι κλειστό αν και μόνον αν για κάθε ακολουθία στο U η οποία συγκλίνει ισχύει ότι το όριό της περιέχεται στο U. Απόδειξη: (1) Αν το x είναι σημείο συσσώρευσης του U, παίρνουμε ένα σημείο x n B(x; 1 n ) U διαφορετικό απο το x και τότε η {x n} είναι στο U και έχει όριο x. Αντιστρόφως, έστω ότι κάποια {x n } με όλους τους όρους της διαφορετικούς απο το x είναι στο U και έχει όριο x. Τότε κάθε ανοικτή περιοχή του x περιέχει όρους της ακολουθίας και, επομένως, το x είναι σημείο συσσώρευσης του U. (2) σκηση. Η προηγούμενη πρόταση δίνει, για μετρικό χώρο, έναν χαρακτηρισμό των σημείων συσσώρευσης και των κλειστών συνόλων (και, κατ επέκταση, των ανοικτών συνόλων) βάσει της σύγκλισης ακολουθιών. Επισημαίνεται ότι κάτι τέτοιο δεν είναι δυνατό για τυχόντα τοπολογικό χώρο. Παράδειγμα: Ο χώρος R n. Με τον τύπο d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + + (x n y n ) 2 για κάθε δύο στοιχεία x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n ορίζεται η γνωστή ευκλείδια μετρική στον R n. 1.2.4 SuneqeÐc sunart seic Ορισμός 1.14 Εστω A, B δύο τοπολογικοί χώροι με τοπολογίες T και S αντιστοίχως και M A. (i) Μία συνάρτηση f : M B λέμε ότι είναι συνεχής στο x M αν για κάθε N S με f(x) N υπάρχει O T ώστε x O M f 1 (N). (ii) Η f : M B λέμε ότι είναι συνεχής στο M αν είναι συνεχής σε κάθε x M.

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ Πρόταση 1.8 Εστω A, B δύο τοπολογικοί χώροι με τοπολογίες T και S αντιστοίχως, M A και συνάρτηση f : M B. Η f είναι συνεχής στο M αν και μόνον αν για κάθε N S υπάρχει O T ώστε f 1 (N) = O M. Απόδειξη: Εστω ότι η f είναι συνεχής στο M και έστω N S. Για κάθε x f 1 (N) υπάρχει O x T ώστε x O x M f 1 (N). Τότε το σύνολο O = {O x x f 1 (N)} ανήκει στην T και f 1 (N) = O M. Αντιστρόφως, θεωρούμε τυχόν x M και τυχόν N S με f(x) N. Τότε υπάρχει O T ώστε f 1 (N) = O M, οπότε x O M f 1 (N) και, επομένως, η f είναι συνεχής στο x. Πρόταση 1.9 Εστω A, B δύο μετρικοί χώροι, M A και f : M B. Η f είναι συνεχής στο x M αν και μόνον αν f(x n ) f(x) στο B για κάθε ακολουθία {x n } στο M με x n x στο A. Απόδειξη: σκηση. Ο χαρακτηρισμός της συνέχειας βάσει της σύγκλισης ακολουθιών που περιγράφεται στην προηγούμενη πρόταση δεν ισχύει για τυχόντες τοπολογικούς χώρους. Πρόταση 1.10 (1) Εστω A, B, C τοπολογικοί χώροι, M A, N B, f : M N και g : N C. Αν η f είναι συνεχής στο x M και η g είναι συνεχής στο f(x), τότε η g f είναι συνεχής στο x. (2) Εστω τοπολογικός χώρος A, M A, f, g : M R n και κ R. Αν ο R n έχει την τοπολογία που επάγεται από την ευκλείδια μετρική και οι f, g είναι συνεχείς στο x M, τότε οι f + g, κf είναι συνεχείς στο x. Απόδειξη: (1) Εστω L ανοικτό στον C ώστε g f(x) = g(f(x)) L. Τότε υπάρχει V ανοικτό στον B ώστε f(x) V N g 1 (L). Επίσης υπάρχει O ανοικτό στον A ώστε x O M f 1 (V ). Επομένως, x O M f 1 (V N) f 1( g 1 (L) ) = (g f) 1 (L). (2) Εστω N ανοικτή περιοχή του f(x)+g(x) στον R n, οπότε υπάρχει r > 0 ώστε B(f(x) + g(x); r) N. Επειδή οι f, g είναι συνεχείς στο x, υπάρχουν ανοικτά υποσύνολα O 1, O 2 του A ώστε x O 1 O 2 και f(o 1 M) B(f(x); 1 2 r), g(o 2 M) B(g(x); 1 2 r). Τότε το O = O 1 O 2 είναι ανοικτό υποσύνολο του A και (f + g)(o M) B(f(x); 1 2 r) + B(g(x); 1 2 r) = B(f(x) + g(x); r) N. ρα η f + g είναι συνεχής στο x. Η απόδειξη για την κf είναι παρόμοια. 1.2.5 OmoiomorfismoÐ Ορισμός 1.15 Εστω A, B δύο τοπολογικοί χώροι. Μία συνάρτηση f : A B ονομάζεται ομοιομορφισμός του A με τον B αν είναι 1-1 και επί, η f είναι συνεχής στο A και η f 1 είναι συνεχής στο B. Τότε λέμε ότι ο A είναι ομοιομορφικός με τον B και γράφουμε A = B.

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 13 Πρόταση 1.11 Εστω τοπολογικοί χώροι A, B, C. Τότε, (1) A = A, (2) αν A = B, τότε B = A, (3) αν A = B και B = C, τότε A = C. Απόδειξη: σκηση. Αν A, B είναι δύο ομοιομορφικοί χώροι και f : A B είναι ο ομοιομορφισμός τους, μπορούμε να ταυτίσουμε τους δύο χώρους. Δηλαδή, ταυτίζουμε κάθε σημείο a A με το αντίστοιχο b = f(a) B και, αντιστρόφως, κάθε b B το ταυτίζουμε με το αντίστοιχο a = f 1 (b) A. Τότε κάθε ανοικτό υποσύνολο U του A ταυτίζεται με το ανοικτό υποσύνολο V = f(u) του B και, αντιστρόφως, κάθε ανοικτό υποσύνολο V του B ταυτίζεται με το ανοικτό υποσύνολο U = f 1 (V ) του B. Ορισμός 1.16 Εστω μη-κενό σύνολο A και δύο μετρικές d 1, d 2 στο A. Λέμε ότι οι d 1, d 2 είναι ισοδύναμες αν η ταυτοτική απεικόνιση I A : A A είναι ομοιομορφισμός ανάμεσα στον A με την τοπολογία που επάγεται από την d 1 και στον A με την τοπολογία που επάγεται από την d 2 ή, ισοδύναμα, αν οι μετρικές d 1, d 2 ορίζουν τα ίδια ανοικτά υποσύνολα στον A. Παράδειγμα: Στον R n ορίζουμε μετρική με τύπο d 1 (x, y) = x 1 y 1 + + x n y n για κάθε x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ). Το ότι η d 1 είναι μετρική είναι απλό να αποδειχθεί, όπως, επίσης, είναι απλό να αποδειχθεί ότι, αν d 2 είναι η ευκλείδια μετρική στον R n, τότε ισχύει d 2 (x, y) d 1 (x, y) n d 2 (x, y) για κάθε x, y R n. Με βάση αυτές τις ανισότητες, εύκολα αποδεικνύεται ότι τα ανοικτά σύνολα που ορίζονται από την d 1 είναι τα ίδια με τα ανοικτά σύνολα που ορίζονται από την d 2. Δηλαδή, οι d 1, d 2 στον R n είναι ισοδύναμες. Ορισμός 1.17 Εστω μετρικοί χώροι A, B με μετρικές d, D αντιστοίχως. Μία συνάρτηση f : A B ονομάζεται ισομετρία του A με τον B αν είναι 1-1 και επί και D(f(x), f(y)) = d(x, y) για κάθε x, y A. Τότε λέμε ότι ο A είναι ισομετρικά ομοιομορφικός ή ισομετρικός με τον B και συμβολίζουμε A iso = B. 1.2.6 Pl reic metrikoð q roi Ορισμός 1.18 Εστω A ένας μετρικός χώρος με μετρική d. Μία ακολουθία {x n } στο A ονομάζεται ακολουθία Cauchy αν d(x n, x m ) 0 όταν n, m +. Πρόταση 1.12 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία σε μετρικό χώρο είναι ακολουθία Cauchy. Απόδειξη: σκηση. Ορισμός 1.19 Ενα υποσύνολο B μετρικού χώρου A ονομάζεται πλήρες αν κάθε ακολουθία Cauchy στο B συγκλίνει σε στοιχείο του B.

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ Πρόταση 1.13 Ο R n με την ευκλείδια μετρική είναι πλήρης. Απόδειξη: Εστω {x k } ακολουθία Cauchy στον R n με x k = (x k,1,..., x k,n ). Τότε για κάθε j = 1,..., n έχουμε x k,j x l,j d(x k, x l ) 0 όταν k, l +. Επειδή ο R είναι πλήρης, συνεπάγεται ότι υπάρχει x (j) R ώστε x k,j x (j) όταν k +. Αν θέσουμε x = (x (1),..., x (n) ), τότε d(x k, x) 2 = x k,1 x (1) 2 + + x k,n x (n) 2 0. ρα η {x k } συγκλίνει στο x. Πρόταση 1.14 Εστω μετρικός χώρος A. (1) Αν το B A είναι πλήρες τότε είναι κλειστό. (2) Αν B C A, το C είναι πλήρες και το B είναι κλειστό, τότε το B είναι πλήρες. Απόδειξη: σκηση. Ορισμός 1.20 Εστω A ένας τοπολογικός χώρος. πυκνό αν cl(b) = A. Ενα B A ονομάζεται Ορισμός 1.21 Εστω μετρικός χώρος A με μετρική d. Ονομάζουμε διάμετρο ενός μη-κενού B A το diam(b) = sup{d(b 1, b 2 ) b 1, b 2 B}. Λήμμα 1.2 Εστω A ένας πλήρης μετρικός χώρος με μετρική d. Αν για κάθε i N το C i είναι μη-κενό κλειστό υποσύνολο του A, C i+1 C i για κάθε i N και diam(c i ) 0, τότε το σύνολο + i=1 C i περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο. Απόδειξη: Επιλέγουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο x i C i. Αν k l, τότε x k, x l C k, οπότε d(x k, x l ) diam(c k ) 0 όταν k, l +. Επομένως, υπάρχει x A ώστε x k x. Επειδή, για κάθε i, η {x k } περιέχεται, από έναν δείκτη και πέρα, στο κλειστό C i, συνεπάγεται από την Πρόταση 1.7(2) ότι x C i. ρα x + i=1 C i. Αν το + i=1 C i περιέχει και ένα y, τότε d(x, y) diam(c i ) για κάθε i και, επομένως, d(x, y) = 0. ρα x = y. Θεώρημα 1.1 (Baire ) Αν ο A είναι πλήρης μετρικός χώρος και για κάθε i N το O i είναι ανοικτό και πυκνό υποσύνολο του A, τότε το + i=1 O i είναι πυκνό. Απόδειξη: Θέτουμε U = + i=1 O i και υποθέτουμε ότι το U δεν είναι πυκνό. Δηλαδή, υπάρχει x A το οποίο δεν ανήκει στο cl(u). ρα υπάρχει r > 0 ώστε B(x; r) U =. Ομως το O 1 είναι πυκνό και, επομένως, υπάρχει x 1 B(x; r) O 1. Επειδή το O 1 είναι ανοικτό, υπάρχει r 1 > 0 ώστε r 1 1 2 r και cl(b(x 1; r 1 )) B(x; r) O 1. Το O 2 είναι πυκνό και, επομένως, υπάρχει x 2 B(x 1 ; r 1 ) O 2. Επειδή το O 2 είναι ανοικτό, υπάρχει r 2 > 0 ώστε r 2 1 2 r 1 1 2 r και cl(b(x 2 2 ; r 2 )) B(x 1 ; r 1 ) O 2. Συνεχίζοντας επαγωγικά, βρίσκουμε για κάθε i N μπάλα B(x i ; r i ) ώστε r i 1 2 r και cl(b(x i i+1 ; r i+1 )) B(x i ; r i ) O i+1 για κάθε i N. Εφαρμόζουμε, τώρα, το προηγούμενο λήμμα με τα σύνολα C i = cl(b(x i ; r i )) και βλέπουμε ότι υπάρχει y + i=1 C i. Αυτό συνεπάγεται ότι y B(x; r) U και καταλήγουμε σε άτοπο.

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 15 1.2.7 Sumpˆgeia Ορισμός 1.22 Εστω A τοπολογικός χώρος με τοπολογία T. Ο A ονομάζεται χώρος Hausdorff αν για κάθε x 1, x 2 A με x 1 x 2 υπάρχουν ξένα μεταξύ τους O 1, O 2 T ώστε x 1 O 1 και x 2 O 2. Πρόταση 1.15 Κάθε μετρικός χώρος είναι χώρος Hausdorff. Απόδειξη: Αν ο A έχει μετρική d και x 1, x 2 A με x 1 x 2, παίρνουμε r = 1 2 d(x 1, x 2 ) > 0 και O 1 = B(x 1 ; r), O 2 = B(x 2 ; r). Ορισμός 1.23 Εστω A τοπολογικός χώρος με τοπολογία T και K A. Λέμε ότι μία συλλογή ανοικτών συνόλων C αποτελεί ανοικτή κάλυψη του K αν ισχύει K C. Ορισμός 1.24 Εστω A τοπολογικός χώρος με τοπολογία T και K A. Το K ονομάζεται συμπαγές (ως προς την T ) αν για κάθε ανοικτή κάλυψη C του K υπάρχει πεπερασμένη ανοικτή κάλυψη C C του K. Πρόταση 1.16 Εστω A τοπολογικός χώρος. (1) Αν το K A είναι συμπαγές και ο A είναι χώρος Hausdorff, τότε το K είναι κλειστό. (2) Αν το K A είναι συμπαγές και το K K είναι κλειστό, τότε το K είναι συμπαγές. Απόδειξη: (1) Εστω x / K. Για κάθε z K θεωρούμε ανοικτά σύνολα O z, V z ξένα μεταξύ τους ώστε z O z και x V z. Τότε η συλλογή C = {O z z K} αποτελεί ανοικτή κάλυψη του K, οπότε υπάρχουν n N και z 1,..., z n K ώστε K O z1 O zn. Βλέπουμε αμέσως ότι το ανοικτό σύνολο V = V z1 V zn είναι ξένο με το K και περιέχει το x. ρα το A \ K είναι ανοικτό, οπότε το K είναι κλειστό. (2) Εστω ανοικτή κάλυψη C του K. Τότε η C {A \ K } αποτελεί ανοικτή κάλυψη του K. Επομένως υπάρχουν n N και O 1,..., O n C ώστε K O 1 O n (A \ K ). ρα K O 1 O n. Πρόταση 1.17 Εστω τοπολογικοί χώροι A, B, M A και συνεχής f : M B. Αν το K M είναι συμπαγές (ως προς την τοπολογία του A), το f(k) είναι συμπαγές υποσύνολο του B. Απόδειξη: σκηση. Ορισμός 1.25 Εστω A μετρικός χώρος. Ενα K A ονομάζεται ολικά φραγμένο αν για κάθε ɛ > 0 υπάρχουν n N και x 1,..., x n K ώστε K n i=1 B(x i; ɛ). Θεώρημα 1.2 Εστω A μετρικός χώρος και K A. Τα επόμενα είναι ισοδύναμα (1) Το K είναι συμπαγές. (2) Κάθε ακολουθία στο K έχει τουλάχιστον μία υπο-ακολουθία που συγκλίνει και το όριό της ανήκει στο K. (3) Το K είναι πλήρες και ολικά φραγμένο.

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ Απόδειξη: Εστω ότι ισχύει το (1) και όχι το (2). ρα υπάρχει {x n } στο K ώστε καμμία υπο-ακολουθία της δε συγκλίνει σε σημείο του K. Τότε για κάθε x K υπάρχει B(x; r x ) η οποία περιέχει το πολύ πεπερασμένου πλήθους όρους της {x n }. Η συλλογή {B(x; r x ) x K} αποτελεί ανοικτή κάλυψη του K και, επομένως, υπάρχουν x 1,..., x n K ώστε K B(x 1 ; r x1 ) B(x n ; r xn ). Τότε, όμως, το K περιέχει το πολύ πεπερασμένου πλήθους όρους της {x n } το οποίο είναι, προφανώς, άτοπο. Εστω ότι ισχύει το (2). Θεωρούμε ακολουθία Cauchy {x n } στο K και έστω {x nk } υπο-ακολουθία της η οποία συγκλίνει σε κάποιο x K. Επειδή n k k για κάθε k, συνεπάγεται ότι d(x k, x) d(x k, x nk ) + d(x nk, x) 0 όταν k +. ρα το K είναι πλήρες. Εστω, τώρα, τυχόν ɛ > 0 και έστω τυχόν x 1 K. Αν το K δεν περιέχεται στην B(x 1 ; ɛ), έστω τυχόν x 2 K \ B(x 1 ; ɛ). Αν το K δεν περιέχεται στην B(x 1 ; ɛ) B(x 2 ; ɛ), έστω τυχόν x 3 K \ ( B(x 1 ; ɛ) B(x 2 ; ɛ) ). Η διαδικασία αυτή πρέπει να σταματήσει, διότι, σε αντίθετη περίπτωση, θα σχηματισθεί η ακολουθία {x n } η οποία δεν θα έχει καμμία συγκλίνουσα υποακολουθία αφού, εκ κατασκευής, d(x k, x l ) ɛ για κάθε k, l με k l. Εστω ότι ισχύει το (3) και έστω ανοικτή κάλυψη C του K η οποία δεν έχει καμμία ανοικτή υπο-κάλυψη του K. Με ɛ = 1 θεωρούμε x 1,..., x n K ώστε K n i=1 B(x i; 1). Τότε για τουλάχιστον ένα από τα x 1,..., x n, το οποίο ονομάζουμε y 1, η K B(y 1 ; 1), δεν καλύπτεται από καμμία πεπερασμέ-νη υπο-συλλογή της C. Με ɛ = 1 2 θεωρούμε (νέα) x 1,..., x n K ώστε K n i=1 B(x i; 1 2 ). Τότε για τουλάχιστον ένα από τα x 1,..., x n, το οποίο ονομάζουμε y 2, η K B(y 1 ; 1) B(y 2 ; 1 2 ), δεν καλύπτεται από καμμία πεπερασμένη υπο-συλλογή της C. Συνεχίζοντας επαγωγικά, κατασκευάζουμε ακολουθία {y n } στο K ώστε, για κάθε n 1 η K B(y 1 ; 1) B(y n ; 2 ) δεν καλύπτεται από καμμία πεπερασμένη υποσυλλογή της C. Αυτό, ειδικώτερα, συνεπάγεται ότι B(y n ; n 1 1 2 ) B(y n 1 n+1 ; 1 2 ), n οπότε d(y n, y n+1 ) < 3 2 για κάθε n. Τότε για κάθε k, l με k l ισχύει d(y n k, y l ) d(y k, y k+1 )+ +d(y l 1, y l ) < 3 + + 3 < 3 0 όταν k, l +. Δηλαδή, η {y n } είναι ακολουθία Cauchy στο K και, επομένως, συγκλίνει σε κάποιο 2 k 2 l 1 2 k 1 y K. Τότε το y ανήκει σε κάποιο O C, οπότε υπάρχει r > 0 ώστε B(y; r) O. Α- πό την ανισότητα d(y k, y l ) < 3 παίρνουμε d(y 2 k 1 k, y) 3 1, οπότε B(y 2 k 1 k ; ) 2 k 1 1 1 B(y; ). Αν, τώρα, επιλέξουμε k τόσο μεγάλο ώστε 2 k 3 1 1 B(y 1 ; 1) B(y k ; ) B(y 2 k 1 k ; την κατασκευή της {y n }. r, τότε K 2 k 3 ) B(y; r) O. Αυτό αντιφάσκει με 2 k 1 Πρόταση 1.18 Στον χώρο R n με την ευκλείδια μετρική ένα K R n είναι συμπαγές αν και μόνον αν είναι κλειστό και φραγμένο. Απόδειξη: Αν το K είναι συμπαγές, βάσει των Προτάσεων 1.16(1) και 1.15, το K είναι κλειστό. Θεωρώντας την ανοικτή κάλυψη {B(x 0 ; n) n N} του K, βλέπουμε ότι υπάρχει n ώστε K B(x 0 ; n) και, επομένως, το K είναι φραγμένο. Εστω, τώρα, ότι το K είναι κλειστό και φραγμένο. Ως κλειστό υποσύνολο του πλήρους χώρου R n το K είναι πλήρες. Παίρνουμε έναν κύβο αρκετά μεγάλο ώστε να περιέχει το K, και τον χωρίζουμε σε πεπερασμένου πλήθους κύβους διαμέτρου μικρότερης του ɛ. Αυτό, προφανώς, αποδεικνύει ότι το K είναι ολικά φραγμένο οπότε, βάσει της τελευταίας πρότασης, είναι συμπαγές.

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 17 Πρόταση 1.19 Εστω A τοπολογικός χώρος Hausdorff. Για κάθε δύο συμπαγή υποσύνολα K, L του A ξένα μεταξύ τους υπάρχουν ανοικτά σύνολα O, Q επίσης ξένα μεταξύ τους ώστε K O και L Q. Απόδειξη: Στην απόδειξη της Πρότασης 1.16(1) αποδείξαμε ότι για κάθε x / K υπάρχει ένα ανοικτό σύνολο O x (το O z1 O zn που εμφανίζεται εκεί) και ένα ανοικτό σύνολο V x (το V z1 V zn ) τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους και περιέχουν το K και το x αντιστοίχως. Τότε η συλλογή {V x x L} είναι ανοικτή κάλυψη του L, οπότε υπάρχουν x 1,..., x m L ώστε L V x1 V xm. Τότε, τα O = O x1 O xm και Q = V x1 V xm είναι ανοικτά, ξένα μεταξύ τους και περιέχουν τα K, L αντιστοίχως. 1.2.8 TopologÐa-upìqwrou Πρόταση 1.20 Εστω τοπολογικός χώρος A με τοπολογία T και υποσύνολο B του A. Η συλλογή S = {O B O T } αποτελεί τοπολογία του B. Απόδειξη: = B και B = X B, οπότε τα, B ανήκουν στην S. Αν κάθε στοιχείο Q μιάς συλλογής C ανήκει στην S, δηλαδή γράφεται Q = O Q B για κάποιο O Q T, τότε σχηματίζουμε την D = {O Q Q C} και έχουμε ότι C = ( D) B. ρα C S. Αν τα Q 1,..., Q n ανήκουν στην S, δηλαδή Q i = O i B για κάποια O i T, τότε Q 1 Q n = (O 1 O n ) B. ρα Q 1 Q n S. Ορισμός 1.26 Εστω τοπολογικός χώρος A με τοπολογία T και υποσύνολο B του A. Η τοπολογία S του B που περιγράφεται στην προηγούμενη πρόταση ονομάζεται τοπολογία-υπόχωρου για το B (ως προς το A) ή σχετική τοπολογία του B (ως προς το A). Οταν το B A έχει την τοπολογία-υπόχωρου ως προς το A, τα στοιχεία της τοπολογίας του A θα τα ονομάζουμε, απλώς, ανοικτά στο A ενώ τα στοιχεία της σχετικής τοπολογίας του B θα τα ονομάζουμε ανοικτά στο B. Πρόταση 1.21 Εστω τοπολογικός χώρος A και B A με την τοπολογίαυπόχωρου. (1) Το Q B είναι ανοικτό στο B αν και μόνον αν υπάρχει O A ανοικτό στο A ώστε Q = O B. (2) Το D B είναι κλειστό στο B αν και μόνον αν υπάρχει C A κλειστό στο A ώστε D = C B. (3) Αν x B και D B, τότε το x είναι σημείο συσσώρευσης του D ως προς την τοπολογία-υπόχωρου του B αν και μόνον αν είναι σημείο συσσώρευσης του D ως προς την τοπολογία του A. (4) Αν U B, τότε int A (U) int B (U) και cl B (U) = cl A (U) B. Απόδειξη: (1) Είναι ο ορισμός. (2) Εστω C B κλειστό στο B. Τότε το B\C είναι ανοικτό στο B και, επομένως, B \ C = O B για κάποιο O ανοικτό στο A. ρα C = (A \ O) B και το A \ O είναι κλειστό στο A. Η απόδειξη του αντιστρόφου είναι παρόμοια.

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ (3) Εστω ότι το x είναι σημείο συσσώρευσης του D ως προς την τοπολογίαυπόχωρου του B. Αν O είναι ανοικτή περιοχή του x στην τοπολογία του A, τότε το O B είναι ανοικτή περιοχή του x στην τοπολογία-υπόχωρου του B και, επομένως, αυτή περιέχει ένα τουλάχιστον σημείο του D διαφορετικό από το x. ρα και η O περιέχει ένα τουλάχιστον σημείο (το ίδιο) του D διαφορετικό από το x και το x είναι σημείο συσσώρευσης του D ως προς την τοπολογία του A. Η απόδειξη του αντίστροφου είναι παρόμοια. (4) Το int A (U) είναι ανοικτό στο A με int A (U) U. Τότε το int A (U) = int A (U) B είναι ανοικτό στο B, οπότε int A (U) int B (U). Το cl A (U) είναι κλειστό στο A με U cl A (U). Τότε το cl A (U) B είναι κλειστό στο B και U cl A (U) B. ρα cl B (U) cl A (U) B. Αντιστρόφως, το cl B (U) είναι κλειστό στο B οπότε cl B (U) = C B για κάποιο C κλειστό στο A. ρα cl A (U) B C B = cl B (U). Πρόταση 1.22 Εστω μετρικός χώρος A με μετρική d : A A R + 0 και B A. (1) Αν x B και r R +, η ανοικτή μπάλα στον B με κέντρο x και ακτίνα r ισούται με B(x; r) B. (2) Αν το A έχει την τοπολογία που επάγεται από τη d, τότε η τοπολογία-υπόχωρου του B επάγεται από τον περιορισμό της d στο B B A A. Απόδειξη: σκηση. Πρόταση 1.23 Εστω τοπολογικοί χώροι A, B, C όπου B A και ο B έχει την τοπολογία-υπόχωρου (ως προς τον A). Εστω f : M C όπου M B. (1) Αν x M, τότε η f είναι συνεχής στο x ως προς την τοπολογία του A αν και μόνον αν είναι συνεχής στο x ως προς την τοπολογία-υπόχωρου του B. (2) Η f είναι συνεχής στο M ως προς την τοπολογία του A αν και μόνον αν είναι συνεχής στο M ως προς την τοπολογία-υπόχωρου του B. Απόδειξη: (1) Εστω ότι η f είναι συνεχής στο x ως προς την τοπολογία του A. Αν N είναι ανοικτό στο C και περιέχει το f(x), τότε υπάρχει O ανοικτό στο A ώστε x O M f 1 (N). Τότε το Q = O B είναι ανοικτό στο B και x Q M f 1 (N). ρα η f είναι συνεχής στο x ως προς την τοπολογίαυπόχωρου του B. Αντιστρόφως, έστω ότι η f είναι συνεχής στο x ως προς την τοπολογίαυπόχωρου του B. Αν N είναι ανοικτό στο C και περιέχει το f(x), τότε υπάρχει Q ανοικτό στο B ώστε x Q M f 1 (N). Επειδή Q = O B για κάποιο O ανοικτό στο A, συνεπάγεται ότι x O M f 1 (N). ρα η f είναι συνεχής στο x ως προς την τοπολογία του A. (2) σκηση. Πρόταση 1.24 Εστω A μετρικός χώρος και B A με την τοπολογία-υπόχωρου. Αν M B, τότε το M είναι πλήρες ως υποσύνολο του B αν και μόνον αν είναι πλήρες ως υποσύνολο του A. Απόδειξη: Επειδή η μετρική του B είναι, απλώς, ο περιορισμός της μετρικής του A στο B, συνεπάγεται ότι μία ακολουθία του B είναι ακολουθία Cauchy ως προς την

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 19 τοπολογία του A αν και μόνον αν είναι ακολουθία Cauchy ως προς την τοπολογίαυπόχωρου του B. Επίσης, μία ακολουθία του B συγκλίνει σε στοιχείο του B ως προς την τοπολογία-υπόχωρου αν και μόνον αν συγκλίνει στο ίδιο στοιχείο ως προς την τοπολογία του A. Πρόταση 1.25 Εστω τοπολογικοί χώροι A, B όπου B A και ο B έχει την τοπολογία-υπόχωρου. Αν M B, τότε το M είναι συμπαγές ως υποσύνολο του B αν και μόνον αν είναι συμπαγές ως υποσύνολο του A. Απόδειξη: Εστω ότι το M είναι συμπαγές ως υποσύνολο του B. Παίρνουμε τυχούσα ανοικτή κάλυψη C του M ως προς την τοπολογία του A. Η συλλογή D = {O B O C} είναι ανοικτή κάλυψη του M ώς προς την τοπολογία-υπόχωρου, οπότε υπάρχουν n N και O 1,..., O n C ώστε M (O 1 B) (O n B) = (O 1 O n ) B. ρα M O 1 O n. Επομένως, το M είναι συμπαγές ως υποσύνολο του A. Το αντίστροφο αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο. 1.2.9 Pl rwsh metrikoô q rou Θεώρημα 1.3 Αν A, B μετρικοί χώροι με μετρικές d, D αντιστοίχως, B είναι πλήρης, K πυκνό υποσύνολο του A, f : K B και C > 0 με D(f(x), f(y)) Cd(x, y) για κάθε x, y K, τότε υπάρχει μοναδική επέκταση F : A B της f, συνεχής στο A. Επίσης, D(F (x), F (y)) Cd(x, y) για κάθε x, y A και, αν η αρχική ανισότητα για την f είναι ισότητα, τότε και για την F ισχύει ισότητα. Απόδειξη: Εστω τυχόν x A. Επειδή το K είναι πυκνό στον A, υπάρχει {x n } στο K ώστε x n x στον A. ρα D(f(x k ), f(x l )) Cd(x k, k l ) 0 και, επομένως, η {f(x n )} συγκλίνει στον B. Αν υπάρχει και άλλη {x n} στο K ώστε x n x, τότε D(f(x n), f(x n )) Cd(x n, x n ) 0, οπότε lim f(x n) = lim f(x n ). ρα ορίζεται καλώς συνάρτηση F : A B με τύπο F (x) = lim f(x n ) B για κάθε x A, όπου {x n } είναι οποιαδήποτε ακολουθία στο K με x n x. Αν για οποιοδήποτε x K θεωρήσουμε τη σταθερή ακολουθία {x} στο K, τότε αυτή συγκλίνει στο x και, επομένως, F (x) = lim f(x) = f(x). ρα η F είναι επέκταση της f. Για οποιαδήποτε x, y A παίρνουμε {x n } και {y n } στο K ώστε x n x και y n y. Τότε για κάθε n, D(F (x), F (y)) D(F (x), f(x n ))+D(f(x n ), f(y n ))+ D(f(y n ), F (y)) D(F (x), f(x n )) + Cd(x n, y n ) + D(f(y n ), F (y)) D(F (x), f(x n )) + Cd(x n, x) + Cd(x, y) + Cd(y, y n ) + D(f(y n ), F (y)). Οπότε, με n +, παίρνουμε D(F (x), F (y)) Cd(x, y). Αν η F 1 : A B είναι επέκταση της f συνεχής στο A, τότε για κάθε x A παίρνουμε {x n } στο K με x n x και έχουμε F 1 (x) = lim F 1 (x n ) = lim f(x n ) = lim F (x n ) = F (x). Θεώρημα 1.4 Εστω A μετρικός χώρος με μετρική d. Υπάρχει πλήρης μετρικός χώρος Ã με μετρική d, ώστε A Ã, η d είναι ο περιορισμός της d στο A και A είναι πυκνό στον Ã.

20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ Αν Â είναι πλήρης μετρικός χώρος με μετρική d, ώστε A Â, η d είναι ο περιορισμός της d στο A και A είναι πυκνό στον Â, τότε υπάρχει ισομετρία φ : Ã Â ώστε φ(x) = x για κάθε x A. Απόδειξη: Θεωρούμε το σύνολο X με στοιχεία όλες τις ακολουθίες Cauchy του A. Στο X ορίζουμε μία σχέση ως εξής: γράφουμε {x n } {y n } για δύο ακολουθίες Cauchy του A αν d(x n, y n ) 0. Είναι προφανές ότι η είναι σχέση ισοδυναμίας στο X και, επομένως, ορίζεται το σύνολο X με στοιχεία όλες τις κλάσεις ισοδυναμίας [{x n }] των στοιχείων του X. Αποδεικνύεται πολύ εύκολα ότι, d(x, y) d(z, w) d(x, z) + d(y, w) για κάθε x, y, z, w A και, με βάση αυτό, ότι η {d(x n, y n )} είναι ακολουθία Cauchy στο [0, + ) για κάθε δύο ακολουθίες Cauchy {x n }, {y n } στο A. ρα το όριο lim d(x n, y n ) υπάρχει και είναι μη-αρνητικός πραγματικός αριθμός για κάθε δύο ακολουθίες Cauchy {x n }, {y n } στο A. Αν {x n } {x n} και {y n } {y n}, τότε, με βάση την ίδια ανισότητα, αποδεικνύεται ότι lim d(x n, y n ) = lim d(x n, y n). Επομένως, ορίζεται καλώς η συνάρτηση D : X X R + 0 με τύπο D([{x n }], [{y n }]) = lim d(x n, y n ). Και πάλι είναι προφανές ότι η D είναι μετρική στον X. Αν με {x} συμβολίσουμε τη σταθερή ακολουθία με όλους τους όρους ίσους με x, τότε ορίζουμε i : A X με τύπο i(x) = [{x}] για κάθε x A. Για κάθε x, y A έχουμε D(i(x), i(y)) = lim d(x, y) = d(x, y) και θα αποδείξουμε ότι το i(a) είναι πυκνό στον Q. Παίρνουμε τυχόν [{x n }] στον Q και τυχόν r > 0. Επειδή η {x n } είναι ακολουθία Cauchy, υπάρχει N ώστε x k x l < 1 2 r για κάθε k, l N. ρα, x k x N < 1 2 r για κάθε k N. Θεωρούμε τη σταθερή ακολουθία {x N } και την κλάση ισοδυναμίας της, i(x N ) = [{x N }] i(a). Τότε, D([{xN }], [{x n }]) = lim d(x N, x n ) 1 2 r < r και, επομένως, [{x N }] B([{x n }]; r). Αυτό αποδεικνύει ότι το i(a) είναι πυκνό στον X. Τέλος, ο X είναι πλήρης. Για να το αποδείξουμε παίρνουμε μία ακολουθία Cauchy {q m } στο X. Επειδή το i(a) είναι πυκνό στον X, για κάθε m υπάρχει i(x m ) i(a) ώστε D(q m, i(x m )) < 1 m 0 όταν m +. Αφού D(q k, q l ) 0, συνεπάγεται εύκολα ότι d(x k, x l ) = D(i(x k ), i(x l )) 0, οπότε η {x n } είναι ακολουθία Cauchy στο A και, επομένως το q = [{x n }] είναι στοιχείο του X. Τότε D(q m, q) D(q m, i(x m )) + D(i(x m ), q) = D(q m, i(x m )) + D([{x m }], [{x n }]) = D(q m, i(x m )) + lim d(x m, x n ) 0 όταν m +. (Το lim d(x m, x n ) σημαίνει όριο ως προς n.) Μέχρι τώρα έχουμε αποδείξει ότι υπάρχει πλήρης μετρικός χώρος X με μετρική D και i : A X ώστε D(i(x), i(y)) = d(x, y) για κάθε x, y A και το i(a) είναι πυκνό στον X. Ορίζουμε Ã = A ( X \i(a)) (δηλαδή, αντικαθιστούμε το i(a) με το A) και τη συνάρτηση π : Ã X με τύπο π(x) = i(x) για κάθε x A και π(x) = x για κάθε x X \ i(a). Επίσης, ορίζουμε d : Ã Ã R+ 0 με τύπο d(x, y) = D(π(x), π(y)) για κάθε x, y Ã. Επειδή η π είναι 1-1 και επί, είναι προφανές ότι η d είναι μετρική στον Ã και ότι ο Ã με τη μετρική d είναι ισομετρικός με τον X με τη μετρική D. Επομένως, είναι προφανές ότι ο Ã είναι πλήρης και, αφού το π(a) = i(a)

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 21 είναι πυκνό στον X, είναι και το A πυκνό στον Ã. Τέλος, αν x, y A, τότε d(x, y) = D(i(x), i(y)) = d(x, y) και, επομένως, η d είναι ο περιορισμός της d στο A. Εστω, τώρα, πλήρης μετρικός χώρος Â με μετρική d ώστε A Â, η d είναι ο περιορισμός της d στο A και το A είναι πυκνό στον Â. Θεωρούμε την ταυτοτική συνάρτηση I A:A A, οπότε d(i A (x), I A (y)) = d(x, y) = d(x, y) = d(x, y) για κάθε x, y A. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, υπάρχει μοναδική επέκταση φ : Ã Â της I A συνεχής στο Ã και, μάλιστα, d(φ(z), φ(w)) = d(z, w) για κάθε z, w Ã. Αυτό, προφανώς, συνεπάγεται ότι η φ είναι 1-1. Εστω {z n } Ã με φ(z n) q για κάποιο q Â. Τότε, d(z k, z l ) = d(φ(z k ), φ(z l )) 0, οπότε z k z για κάποιο z Ã. Επομένως, q = lim φ(z n ) = φ(z). Αυτό αποδεικνύει ότι το σύνολο τιμών της φ είναι κλειστό στον Â. Επειδή το σύνολο τιμών της φ περιέχει το A και αυτό είναι πυκνό στον Â, συνεπάγεται ότι το σύνολο τιμών της φ ισούται με τον Â. ρα η φ είναι επί και, επομένως, ισομετρία του Ã με τον Â. Ορισμός 1.27 Εστω μετρικός χώρος A με μετρική d. Οποιοσδήποτε πλήρης μετρικός χώρος Â με μετρική d ο οποίος περιέχει τον A ώστε η d να έιναι ο περιορισμός της d στο A και ώστε το A να είναι πυκνό στον Â ονομάζεται πλήρωση του A. Το τελευταίο θεώρημα απέδειξε ότι υπάρχει πλήρωση οποιουδήποτε μετρικού χώρου A και ότι οποιεσδήποτε δύο πληρώσεις του ίδιου μετρικού χώρου A είναι ισομετρικοί μετρικοί χώροι (και η ισομετρία, περιορισμένη στον A, είναι η ταυτοτική απεικόνιση του A). Λόγω της φυσιολογικής ταύτισης ισομετρικών μετρικών χώρων, αναφερόμαστε συνήθως στην πλήρωση ενός μετρικού χώρου. 1.2.10 TopologÐa-ginìmeno Ορισμός 1.28 Εστω I ένα σύνολο το οποίο θα ονομάζεται σύνολο δεικτών και μία συλλογή συνόλων {A i i I}. Ορίζουμε το σύνολο i I A i = {x x : I i I A i με x(i) A i για κάθε i I}. Το σύνολο αυτό ονομάζεται καρτεσιανό γινόμενο της {A i i I}. Θεώρημα 1.5 (Αξίωμα Επιλογής) Αν το I είναι μη-κενό και για κάθε i I το A i είναι μη-κενό, τότε το καρτεσιανό γινόμενο της {A i i I} είναι μη-κενό. Απόδειξη: Θεωρούμε το σύνολο C στοιχεία του οποίου είναι όλες οι συναρτήσεις x : J i I A i, όπου J είναι τυχόν μη-κενό υποσύνολο του I και x(i) A i για κάθε i J. Επιλέγοντας τυχόν i 0 I και τυχόν a 0 A i0 όρίζουμε τη συνάρτηση x 0 : {i 0 } i I A i με τύπο x(i 0 ) = a 0. Προφανώς, x 0 C. Θεωρούμε διάταξη στο C ως εξής. Αν x 1, x 2 C, γράφουμε x 1 x 2 αν η x 2 είναι επέκταση της x 1. Δηλαδή, αν το πεδίο ορισμού της x 2 περιέχει το πεδίο

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ ορισμού της x 1 και οι δύο συναρτήσεις ταυτίζονται στο πεδίο ορισμού της x 1. Είναι προφανές ότι η είναι σχέση διάταξης στο C. Εστω D ένα ολικά διατεταγμένο υποσύνολο της C. Δηλαδή, αν x 1, x 2 D, τότε είτε η x 2 είναι επέκταση της x 1 είτε η x 1 είναι επέκταση της x 2. Θεωρούμε το J 0 = {J το J είναι πεδίο ορισμού κάποιας x D} I. Αν i J 0, τότε υπάρχει x D με το i να περιέχεται στο πεδίο ορισμού της. Αν x D είναι οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση με το i να περιέχεται στο πεδίο ορισμού της, τότε, επειδή κάποια από τις x, x είναι επέκταση της άλλης, συνεπάγεται ότι x(i) = x (i). ρα μπορούμε να ορίσουμε συνάρτηση x 0 : J 0 i I A i με τύπο x 0 (i) = x(i) A i όπου x D έχει το i στο πεδίο ορισμού της. Είναι προφανές ότι η x 0 είναι επέκταση όλων των x D και ότι είναι στοιχείο της C. ρα η x 0 είναι άνω-φράγμα της D στο C. Συνεπάγεται από το Λήμμα του Zorn ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα maximal στοιχείο x της C. Η x είναι στοιχείο του καρτεσιανού γινομένου i I A i, αρκεί να αποδειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της είναι το I. Εστω, λοιπόν, ότι x : J i I A i και J I. Παίρνουμε i 0 I \J και a 0 A i0 και ορίζουμε x 0 : J {i 0 } i I A i ώστε να ταυτίζεται με την x στο J και x(i 0 ) = a 0. Προφανώς, η x 0 είναι γνήσια επέκταση της x και ανήκει στην C. τοπο. Οπως με τις ακολουθίες, μία βολική γραφή των στοιχείων x του καρτεσιανού γινομένου i I A i είναι η x = (x i ) i I, όπου την τιμή x(i) A i τη γράφουμε x i και την ονομάζουμε i-συντεταγμένη του x. Αν το σύνολο δεικτών είναι το πεπερασμένο I = {1, 2,..., n}, τότε το καρτεσιανό γινόμενο γράφεται n i=1 A i ή A 1 A n και τα στοιχεία του x = (x i ) n i=1 ή x = (x 1,..., x n ). Ομοίως, αν το σύνολο δεικτών είναι το αριθμήσιμο N = {1, 2,...}, τότε το καρτεσιανό γινόμενο γράφεται + i=1 A i ή A 1 A 2 και τα στοιχεία του x = (x i ) + i=1 ή x = (x 1, x 2,...). Ορισμός 1.29 Για κάθε j I ορίζουμε τη συνάρτηση π j : i I A i A j με τύπο π(x) = x j για κάθε x = (x i ) i I. Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται j-προβολή. Πρόταση 1.26 Εστω A ένα μη-κενό σύνολο και D μία συλλογή τοπολογιών του A. Τότε η D αποτελεί τοπολογία του A. Απόδειξη: σκηση. Πρόταση 1.27 Εστω A ένα μη-κενό σύνολο και C μία μη-κενή συλλογή υποσυνόλων του A. Η συλλογή T = {S η S είναι τοπολογία του A και C S} αποτελεί τη μικρότερη τοπολογία του A η οποία περιέχει την C. Απόδειξη: μεση από την προηγούμενη πρόταση. Ορισμός 1.30 Εστω A ένα μη-κενό σύνολο και C μία μη-κενή συλλογή υ- ποσυνόλων του A. Η μικρότερη τοπολογία του A η οποία περιέχει την C (και περιγράφτηκε στην προηγούμενη πρόταση) λέμε ότι είναι η τοπολογία που παράγεται από την C. Πρόταση 1.28 Εστω A ένα μη-κενό σύνολο και C μία μη-κενή συλλογή υποσυνόλων του A.

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 23 (1) Το O A είναι ανοικτό ως προς την τοπολογία που παράγεται από την C αν και μόνον αν το O γράφεται ως ένωση (αυθαίρετου πλήθους) συνόλων το καθένα εκ των οποίων είναι τομή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων της C. (2) Το x A είναι εσωτερικό σημείο του U A αν και μόνον αν υπάρχουν n N και C 1,..., C n C ώστε x C 1 C n U. Απόδειξη: (1) Θεωρούμε τη συλλογή T στοιχεία της οποίας είναι όλα τα σύνολα O τα οποία περιγράφονται στη διατύπωση της πρότασης. Εύκολα αποδεικνύουμε ότι η T είναι τοπολογία του A και ότι περιέχει όλα τα στοιχεία της C. ρα η τοπολογία που παράγεται από την C είναι υποσύνολο της T. Αντιστρόφως, αν S είναι οποιαδήποτε τοπολογία του A η οποία περιέχει την C, είναι προφανές ότι κάθε στοιχείο της T ανήκει σ αυτήν. ρα η T είναι υποσύνολο της S και, επομένως, η T είναι υποσύνολο της τοπολογίας που παράγεται από την C. (2) Αν υπάρχουν n N και C 1,..., C n C ώστε x C 1 C n U, τότε, σύμφωνα με το (1), το σύνολο αυτό είναι ανοικτό στην παραγόμενη από την C τοπολογία και το x είναι εσωτερικό σημείο του U. Αντιστρόφως, αν το x είναι εσωτερικό σημείο του U, τότε υπάρχει σύνολο O όπως στη διατύπωση του (1) ώστε x O U. ρα το x περιέχεται σε κάποιο από τα σύνολα η ένωση των οποίων είναι το O. Ορισμός 1.31 Εστω I ένα μη-κενό σύνολο δεικτών και για κάθε i I ένας τοπολογικός χώρος A i με τοπολογία T i. Θεωρούμε όλα τα υποσύνολα C του i I A i τα οποία είναι της μορφής C = i I O i, όπου O i T i για κάθε i I και O i = A i για όλους εκτός από το πολύ πεπερασμένου πλήθους δείκτες i I. Αν C είναι η συλλογή όλων αυτών των υποσυνόλων, τότε την τοπολογία η οποία παράγεται από την C την ονομάζουμε τοπολογία-γινόμενο των T i, i I, για το καρτεσιανό γινόμενο. Πρόταση 1.29 Εστω I ένα μη-κενό σύνολο δεικτών και για κάθε i I ένας τοπολογικός χώρος A i με τοπολογία T i. (1) Ενα O i I A i είναι ανοικτό ως προς την τοπολογία-γινόμενο αν και μόνον αν το O είναι ένωση (αυθαίρετου πλήθους) συνόλων C από αυτά που περιγράφονται στον προηγούμενο ορισμό. (2) Ενα x = (x i ) i I είναι εσωτερικό σημείο του U i I A i αν και μόνον αν υπάρχει σύνολο C από αυτά που περιγράφονται στον προηγούμενο ορισμό ώστε x C U. Απόδειξη: Προφανής βάσει της Πρότασης 1.28. Ορισμός 1.32 Εστω τοπολογικοί χώροι A, B και f : A B. Η f ονομάζεται ανοικτή αν το f(o) είναι ανοικτό στον B για κάθε O ανοικτό στον A. Πρόταση 1.30 Εστω I ένα μη-κενό σύνολο δεικτών και για κάθε i I ένας τοπολογικός χώρος A i με τοπολογία T i. Εστω ότι το καρτεσιανό γινόμενο i I A i έχει την τοπολογία-γινόμενο. Τότε κάθε συνάρτηση-προβολή π j : i I A i A j είναι συνεχής και ανοικτή στο i I A i.

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΆ Απόδειξη: Παίρνουμε οποιοδήποτε O j ανοικτό υποσύνολο του A j και παρατηρούμε ότι π 1 j (O j ) = i I Q i, όπου Q i = A i για κάθε i j και Q j = O j. ρα το π 1 j (O j ) είναι ανοικτό ως προς την τοπολογία-γινόμενο. Εστω, τώρα, οποιοδήποτε σύνολο C = i I O i, όπου κάθε O i είναι ανοικτό στον A i και O i = A i για όλα εκτός από το πολύ πεπερασμένου πλήθους i I. Τότε, για κάθε j I, το π j (C) είτε είναι ίσο με, αν C =, είτε είναι ίσο με το O j, αν C. Σε κάθε περίπτωση το π j (C) είναι ανοικτό στο A j. Το τυχόν ανοικτό σύνολο O στο i I A i είναι ένωση τέτοιων συνόλων C και, επειδή η εικόνα (μέσω οποιασδήποτε συνάρτησης) μιάς ένωσης ισούται με την ένωση των εικόνων, συνεπάγεται ότι το π j (O) είναι ανοικτό στο A j. Ορισμός 1.33 Εστω μη-κενό σύνολο A και συλλογή C υποσυνόλων του A. Λέμε ότι η C έχει την ιδιότητα πεπερασμένης τομής αν για κάθε πεπερασμένη C C η τομή C είναι μη-κενή. Πρόταση 1.31 Εστω τοπολογικός χώρος A. Ο A είναι συμπαγής αν και μόνον αν για κάθε συλλογή F υποσυνόλων του A που έχει την ιδιότητα πεπερασμένης τομής ισχύει ότι η {cl(f ) F F} είναι μη-κενή. Απόδειξη: σκηση. Θεώρημα 1.6 (Tychonov) Εστω I ένα μη-κενό σύνολο και για κάθε i I ένας τοπολογικός χώρος A i με τοπολογία T i. Αν κάθε A i είναι συμπαγές ως προς την τοπολογία T i, τότε το i I A i είναι συμπαγές ως προς την τοπολογία-γινόμενο. Απόδειξη: Θα θεωρήσουμε τυχούσα συλλογή F υποσυνόλων του i I A i με την ιδιότητα πεπερασμένης τομής και θα αποδείξουμε ότι η {cl(f ) F F} είναι μη-κενή. Ορίζουμε τη συλλογή P της οποίας στοιχεία είναι όλες οι συλλογές G F υποσυνόλων του i I A i με την ιδιότητα πεπερασμένης τομής. Στην P χρησιμοποιούμε τη σχέση διάταξης του εγκλεισμού και παίρνουμε οποιαδήποτε ολικά διατεταγμένη P 0 P. Κατόπιν, ορίζουμε την F 0 = P 0. Αυτή είναι συλλογή υποσυνόλων του i I A i με την ιδιότητα πεπερασμένης τομής. Πράγματι, αν πάρουμε οποιαδήποτε C 1,..., C n F 0, τότε C 1 G 1,..., C n G n για κάποια G 1,..., G n P 0. Επειδή η P 0 είναι ολικά διατεταγμένη, υπάρχει κάποια από τις G 1,..., G n η οποία περιέχει όλες τις άλλες. ρα τα C 1,..., C n ανήκουν όλα σε μία από τις G P 0 και, επομένως, έχουν μη-κενή τομή. Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι η F 0 είναι άνω-φράγμα της P 0 στην P. Σύμφωνα με το Λήμμα του Zorn, η P έχει τουλάχιστον ένα maximal στοιχείο. Δηλαδή υπάρχει συλλογή G F υποσυνόλων του i I A i με την ιδιότητα πεπερασμένης τομής και δεν υπάρχει καμμία γνησίως μεγαλύτερη συλλογή με την ίδια ιδιότητα. Αυτό συνεπάγεται, ειδικώτερα, ότι κάθε τομή πεπερασμένου πλήθους συνόλων της G ανήκει στην G. Πράγματι, αν το G είναι τομή πεπερασμένου πλήθους συνόλων της G και δεν ανήκει στην G, τότε η G {G} είναι γνησίως μεγαλύτερη από την G και έχει την ιδιότητα πεπερασμένης τομής.

1.2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ 25 Αρκεί να αποδείξουμε ότι η {cl(g) G G} είναι μη-κενή, αφού G F. Θεωρούμε για κάθε j I τη συλλογή G j = {π j (G) G G} υποσυνόλων του A j. Είναι εύκολο να δούμε ότι η G j έχει την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής. Πράγματι, αν πάρουμε τυχόντα G 1,..., G n G, τότε υπάρχει x G 1 G n, οπότε x j = π j (x) π j (G 1 ) π j (G n ) cl(π j (G 1 )) cl(π j (G n )). Τώρα, επειδή ο A j είναι συμπαγής, συνεπάγεται ότι {cl(π j (G)) G G}. Παίρνουμε ένα x j {cl(π j (G)) G G} για κάθε j I και σχηματίζουμε το x = (x i ) i I i I A i. Θα αποδείξουμε ότι x {cl(g) G G}. Επειδή x j {cl(π j (G)) G G}, κάθε ανοικτή περιοχή O j του x j στον A j έχει μη-κενή τομή με το π j (G) για κάθε G G. Επομένως, το ανοικτό υποσύνολο του i I A i, O (j) = i I Q i, όπου Q i = A i για κάθε i j και Q j = O j, έχει μη-κενή τομή με το G για κάθε G G. Επομένως, η συλλογή G {O (j) } έχει την ιδιότητα πεπερασμένης τομής, οπότε O (j) G. Μπορούμε, τώρα, να δείξουμε επαγωγικά ότι για κάθε n N, κάθε j i,..., j n I και κάθε O j1,..., O jn ανοικτές περιοχές των x j1,..., x jn στους A j1,..., A jn η τομή O (j1) O (jn) έχει μηκενή τομή με το G για κάθε G G. Ομως, κάθε ανοικτή περιοχή του x στον i I A i περιέχει ένα σύνολο της μορφής O (j1) O (jn) και, επομένως, κάθε ανοικτή περιοχή του x έχει μη-κενή τομή με το G για κάθε G G. ρα x cl(g) για κάθε G G και, επομένως, x {cl(g) G G}. 1.2.11 Asjen c topologða Ορισμός 1.34 Εστω ένα μη-κενό σύνολο A και μία μη-κενή συλλογή T τοπολογικών χώρων. Δηλαδή, κάθε στοιχείο B της T είναι τοπολογικός χώρος με τοπολογία T B. Εστω για κάθε B T μία συνάρτηση f B : A B. Θεωρούμε τη συλλογή όλων των τοπολογιών S του A με την ιδιότητα: αν το A έχει την τοπολογία S, τότε για κάθε B T η f B : A B είναι συνεχής στο A. Αν T είναι η τομή της συλλογής αυτής, τότε, βάσει της Πρότασης 1.26, η T είναι η μικρότερη τοπολογία του A με την (ίδια) ιδιότητα: αν το A έχει την τοπολογία T, τότε για κάθε B T η f B : A B είναι συνεχής στο A. Η T ονομάζεται η ασθενής τοπολογία του A η οποία επάγεται από τη συλλογή των συναρτήσεων {f B B T}. Τα στοιχεία της T ονομάζονται ασθενώς ανοικτά. Πρόταση 1.32 Εστω ένα μη-κενό σύνολο A και μία μη-κενή συλλογή T τοπολογικών χώρων. Εστω για κάθε B T μία συνάρτηση f B : A B. Θεωρούμε τη συλλογή υποσυνόλων του A: C = {f 1 B (O B) B T και O B ανοικτό στο B}. (1) Τότε η ασθενής τοπολογία T του A η οποία επάγεται από τη συλλογή των συναρτήσεων {f B B T} ταυτίζεται με την τοπολογία του A η οποία παράγεται από την C. (2) Ενα O A είναι ασθενώς ανοικτό αν και μόνον αν γράφεται ως ένωση (αυθαίρετου πλήθους) συνόλων το καθένα εκ των οποίων είναι τομή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων της C.